\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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            color coul[];
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              unicode,%
              pdftitle={Contrôle de première S sur les vecteurs et droites},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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               }


\begin{document}
 \titre{Dérivation}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Devoir}{14}
 \date{20 avril 2018}
 \duree{1 heure}
 
\affichetitre

\begin{exercice}[5 points]
Soit $ABC$ un triangle. Les points $M$, $N$ et $P$ sont définis de la façon suivante :

\[ \vect{BM}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}+2\vect{BA}\qquad\vect{BN}=\dfrac{3}{2}\vect{BC} \qquad \text{et}\qquad  \vect{CP}=\vect{AC}\]

 Démontrer que $M$, $N$ et $P$ sont alignés.

\end{exercice}


\begin{exercice}[6 points]
Le plan est muni d'un repère orthonormé.

Soit $\cald_m$ l'ensemble des points $M(x;y)$ dont les coordonnées vérifient la relation :
\[ 5mx+(-6m+7)y-35=0\qquad \text{où}\quad m \in \R \]

\begin{enumerate}
\item Justifier que  $\cald_m$ est une droite  quelle que soit la valeur du réel $m$.
\item Donner une équation de la droite $ \cald_2$ et une équation de la droite $ \cald_{-3}$.
\item Justifier que $ \cald_2$ et $\cald_{-3}$ ne sont pas parallèles, puis déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $A$.
\item Montrer que $A$ appartient à $\cald_m$ quelle que soit la valeur du réel $m$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[9 points]
Le plan est muni d'un repère. On considère les points $A\couple{-1}{-2}$, $B\couple{7}{2}$ et $C\couple{-3}{6}$. Soit $\cald$ la droite d'équation $2x-y+7=0$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ et tracer la droite $\cald$ sur la figure ci-dessous.
\item Calculer les coordonnées de $I$ milieu de $[AB]$ et de $J$ milieu de $[BC]$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(CI)$, appelée $d_1$ dans la suite.
\item 
   \begin{enumerate}
   \item Déterminer une équation cartésienne de la droite $d_2$ passant par $A$ et parallèle à $\cald$.
   \item Démontrer que $J\in d_2$.
   \end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes.
\item Déterminer les coordonnées du point $G$, intersection des droites $d_1$ et $d_2$.
\item Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-7,10,0.8cm,-7,10,0.8cm);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
fin;
\end{mplibcode}

\end{center}

\end{document}