\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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            input repere;
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              pdftitle={Interrogation de première S sur la dérivarion},%
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                                \par\medskip}
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\begin{document}
 \titre{Dérivation}
 \classe{\prems}
 \typedoc{DS}{7}
 \duree{1 heure}
 \date{12 décembre 2018}
 
\affichetitre

{\Large\bfseries Nom :}

\bigskip
\begin{exercice}[8 points]
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\frac{-x^2+11x-28}{2x-6} \]
On appelle $\calc_f$ sa représentation graphique dans un repère.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $\cald_f$ de $f$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item Étudier les variations de $f$ sur $\cald_f$.
\item Étudier le signe de $d(x)$ défini par : $d(x)=f(x)-\left(-\frac{1}{2}x+4\right)$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item Tracer l'allure de $\calc_f$ en cohérence avec les questions précédentes.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
repere.orth(-6,12,12cm,-5,10);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
fin;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{exercice}

\begin{exercice}[8 points]
Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ g(x)=x(\sqrt{x}-3)+2 \]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ puis démontrer que, pour tout $x\in\intervalleOO{0}{+\infty}$ :
\[ g'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}-3 \]
\item En utilisant le taux d'accroissement, démontrer que $g$ est dérivable en $0$ et calculer $g'(0)$.
\item Étudier les variations de $g$ sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$.
\item Démontrer que, pour tout $x\in\intervalleOO{0}{+\infty}$ :
\[ g(x)=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-2\sqrt{x}-2\right) \]
\item On admet que l'équation $x-2\sqrt{x}-2=0$ admet une unique solution : $2\sqrt{3}+4$. 

En déduire les solutions de l'équation $g(x)=0$
\item Tracer l'allure de $\calc_g$ en cohérence avec \emph{toutes} les questions précédentes.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
repere.orth(-2,12,10cm,-4,8);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
fin;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[4 points]
Soit $f$ une fonction définie sur $\R\setminus\{2\}$ par : \[ f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+2}  \] où $a$, $b$ et $c$ sont des réels \textbf{fixés}.

\begin{enumerate}
\item Calculer, pour tout $x\in\R$, $f'(x)$ en fonction de $x$.
\item On sait que $f(0)=-1$, $f'(0)=5$ et $f'(1)=0$. Déterminer $a$, $b$ et $c$ et en déduire l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}