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              unicode,%
              pdftitle={Devoir de première S sur les fonctions},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\newcommand{\qcmsol}{\begin{LARGE}
                     \raisebox{-2pt}{%
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\setboolean{solution}{true}

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             {\large\par\begin{lrbox}{\boiterep}
                 \begin{minipage}{\linewidth}
                    \color{blue}\itshape%
              }%
              {\end{minipage}%
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                             }%
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\colorlet{fondpaille}{white}


\begin{document}
 \titre{Fonctions}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Corr}{6}
 \date{4 décembre 2017}
 \duree{1 heure}
 
\affichetitre


\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\frac{x^2+3x}{2x-2} \]
On appelle $\calc_f$ sa représentation graphique dans un repère.

\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item Déterminer l'ensemble de définition $\cald_f$ de $f$.

\begin{corr}
$2x-2=0 \Leftrightarrow x=1 $ donc \fbox{$\cald_f=\R\setminus\{1\}$}.
\end{corr}

\item Résoudre l'équation $f(x)=0$. Interpréter graphiquement le résultat.

\begin{corr}
Sur $\cald_f$, $f(x)=0 \Leftrightarrow x^2+3x=0$. Cette équation du second degré admet comme solutions (Factorisation ou discriminant...) \fbox{$-3$ et $0$}.

Ces solutions sont \fbox{les abscisses des points d'intersection de $\calc_f$ avec l'axe des abscisses}.
\end{corr}

\item Étudier les variations de $f$ sur $\cald_f$.

\begin{corr}
Pour étudier les variations de $f$, on étudie le signe de sa dérivée.

$f$ est une fonction rationnelle, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition et on a :

Pour tout $x\in\cald_f$, $f'(x)=\dfrac{(2x+3)(2x-2)-(x^2+3x)\times2}{(2x-2)^2}=\dfrac{2x^2-4x-6}{(2x-2)^2}$

Sur $\cald_f$, $f'(x)$ est du signe de $n(x)=2x^2-4x-6$ car $(2x-2)^2>0$.

$n(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines sont (les calculs sont à faire...) : $-1$ et $3$. On en déduit donc son signe ainsi que le tableau de variation de $f$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $f'(x)$ /1,
Variations\\
de $f$ /2}
{$-\infty$,$-1$,$1$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{ , + , 0 , - , d , - , 0 , + , }
\tkzTabVar{ -/ ,+/$\frac{1}{2}$, -D+//, -/$\frac{9}{2}$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{corr}

\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\calc_f$ au point d'abscisse $2$.

\begin{corr}
L'équation de cette tangente est (formule du cours) : $y=f'(2)(x-2)+f(2)$

On a, de plus : $f(2)=\dfrac{2^2+3\times2}{2\times2-2}=5$ et $f'(2)=\dfrac{2\times2^2-4\times2-6}{(2\times2-2)^2}=-\dfrac{3}{2}$

On en déduit donc que l'équation réduite de $T$ est : $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)+5$ soit \fbox{$y=-\dfrac{3}{2}x+8$}.

\end{corr}

\item Tracer l'allure de $\calc_f$ en cohérence avec les questions précédentes.

\begin{corr}
Il faut faire apparaitre sur le dessin : les points d'intersection avec l'axe des abscisses, les variations que l'on a obtenues, les points où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=1$ qui montre l'ensemble de définition, la tangente obtenue à la question précédente...

\end{corr}

\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
repere.orth(-8,10,12cm,-5,10);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)= (x**2 +3x)/(2*x-2) enddef;
path C,D,T;
C=courbefonc(f,-8,0.9);
D=courbefonc(f,1.1,10);
draw C epaisseur 1 couleur 0.5blue;
draw D epaisseur 1 couleur 0.5blue;
draw droite(1) epaisseur 1 dashed evenly couleur rouge;
draw tangente.double(C,-1) epaisseur 1 couleur rouge;
draw tangente.double(D,3) epaisseur 1 couleur rouge;
draw tangente(D,2) epaisseur 1 couleur rouge;
marquepointcourbe(C,-3,0) couleur rouge;
marquepointcourbe(D,2) couleur rouge;
fin;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ g(x)=(x^2-5x)\sqrt{x} \]

\begin{enumerate}[itemsep=3ex]
\item Justifier que $g$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ puis démontrer que, pour tout $x\in\intervalleOO{0}{+\infty}$ :
\[ g'(x)=\frac{5}{2}\sqrt{x}(x-3) \]

\begin{corr}
$g$ est le produit d'une fonction polynôme du second degré (dérivable sur $\R$ donc sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$) et de la fonction racine carrée dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$. \fbox{$g$ est donc dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$}.

On a de plus :

Pour tout $x\in\intervalleOO{0}{+\infty}$ : 
\[\begin{aligned}
g'(x) & =(2x-5)\sqrt{x}+(x^2-5x)\times\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}(2x-5)\sqrt{x}+x^2-5x}{2\sqrt{x}}=\frac{4x^2-10x+x^2-5x}{2\sqrt{x}}\\
&=\frac{5x^2-15x}{2\sqrt{x}}=\frac{5x}{2\sqrt{x}}\times(x-3)=\frac{5}{2}\times\frac{x}{\sqrt{x}}\times(x-3)=\boxed{\frac{5}{2}\sqrt{x}(x-3)}
\end{aligned}\]
\end{corr}

\item En utilisant le taux d'accroissement, démontrer que $g$ est dérivable en $0$.
\begin{corr}
Pour tout $h>0$ :
\[ \frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{g(h)}{h}=\frac{(h^2-5h)\sqrt{h}}{h}=\frac{h(h-5)\sqrt{h}}{h}=(h-5)\sqrt{h} \]
$\ds\limo[h] (h-5)\sqrt{h}=0$ donc $\ds\limo[h]\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=0$
donc \fbox{$g$ est dérivable en $0$ et $g'(0)=0$}.
\end{corr}

\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$.
\begin{corr}
$g'(0)=0$ et, sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$, le signe de $g'(x)$ sur  est celui de la fonction affine $x-3$, on en déduit donc le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{t style/.style = dashed}
\tkzTabInit[color,
            colorC=LFBcoultable1,
            colorV=LFBcoultable1,
            espcl=2.5,
            lgt=2.5,
            deltacl=0.5]
{$x$ /0.75,
Signe\\
de $g'(x)$ /1,
Variations\\
de $g$ /2}
{$0$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{0 , - , 0 , + , }
\tkzTabVar{ +/$0$ ,-/$-6\sqrt{3}$, +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{corr}

\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
\begin{minipage}{11cm}
Le graphique ci-contre représente, dans un repère orthonormal, la courbe représentative $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $I=\intervalleFF{-0,5}{4}$ et deux de ses tangentes.

Pour chaque question, une ou deux propositions est exacte.

Cocher les réponses exactes. Aucune justification n'est demandée.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5.5cm}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
repere(-1,4,1cm,-1.5,3,1cm);
 path C_f;
 C_f:= (-0.25,3) .. (0,2){(1,-3)} .. (0.5,1.25) .. (1,1){(1,0)} .. (2,1.25) .. (3,2) .. (3.5,3);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,0);
 draw axexpart(1);
 draw axeypart(1);
 draw C_f withpen pencircle scaled 1 couleur blue;
 nomme.lrt(C_f,3);
 draw cadre;
  pair A,B,C;
 A:=(0,2);
 B:=(1,-1);
 C:=(1,1);
 drawoptions(couleur 0.7rouge);
 draw droite(A,B) epaisseur 1;
 draw droite(0,1) epaisseur 1;
 nomme.lft(A);pointe(B,C);
fin;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Le graphique permet d'affirmer :
\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
\item $f(2)=0$  \item $f'(0)=2$ \item[\protect\qcmsol] $f'(1)=0$ \item $f'(2)>1$
\end{colenumerate}

\item On pose $g(h)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
\item $\ds\limo[h]g(h)=-3$ \item $\ds\limo[h]g(h)=1$ \item[\protect\qcmsol] $\ds\limo[h]g(h)=0$ \item $\ds\limo[h]g(h)=-\dfrac{1}{3}$
\end{colenumerate}

%\item Le coefficient directeur de la tangente en $A$ à la courbe $C_{f}$ est égal à :
%\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
%\item $3$ \item $-3$ \item $-\dfrac{1}{3}$ \item $\dfrac{1}{3}$
%\end{colenumerate}

\item La fonction $f$ ne s'annule pas sur $I$. On peut donc définir la fonction $u$ sur $I$ par $u=\dfrac{1}{f}$. On a alors :
\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
\item[\protect\qcmsol] $u'(0)=\dfrac{3}{4}$ \item $u'(1)=1$ \item $u'(0)=-\dfrac{3}{4}$ \item[\protect\qcmsol] $u'(1)=0$
\end{colenumerate}

%\item La fonction $d$ est définie sur $I$ par $d(x)=f(x)-(-3x+2)$. On a alors :
%\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
%\item $d$ est négative sur $I$ \item $d(1)=2$ \item $d(0)=-3$ \item $d$ ne s'annule pas.
%\end{colenumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels \textbf{fixés}.

\begin{enumerate}[itemsep=2ex]
\item Calculer, pour tout $x\in\R$, $f'(x)$ en fonction de $x$.

\begin{corr}
Pour tout $x\in\R$, $f'(x)=a\times2x+b=\boxed{2ax+b}$
\end{corr}

\item On sait que $f'(0)=3$, $f'(1)=-1$ et $f(1)=6$. Déterminer $a$, $b$ et $c$ et en déduire $f(x)$ en fonction de $x$.

\begin{corr}
$\syst{f'(0)=3}{f'(1)=-1}{f(1)=6} \Leftrightarrow \syst{&2a\times0+b=3}{&2a\times 1+b=-1}{&a\times1^2+b\times1+c=6} \Leftrightarrow \syst{&b=3}{&2a=-1-b}{&c=6-a-b} \Leftrightarrow \syst{&b=3}{&a=-2}{&c=5}$

Conclusion : Pour tout $x\in\R$, \fbox{$f(x)=-2x^2+3x+5$}
\end{corr}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\end{document}