\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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              unicode,%
              pdftitle={Devoir de première S sur les fonctions},%
              pdfauthor={O. Péault},%
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\newcommand{\qcm}{\begin{LARGE}\raisebox{-2pt}{\ding{111}}\end{LARGE}}

\begin{document}
 \titre{Fonctions}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Devoir}{6}
 \date{4 décembre 2017}
 \duree{1 heure}
 
\affichetitre


\begin{exercice}[7 points]
Soit $f$ la fonction définie par : \[ f(x)=\frac{x^2+3x}{2x-2} \]
On appelle $\calc_f$ sa représentation graphique dans un repère.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $\cald_f$ de $f$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item Étudier les variations de $f$ sur $\cald_f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\calc_f$ au point d'abscisse $2$.
\item Tracer l'allure de $\calc_f$ en cohérence avec les questions précédentes.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
repere.orth(-8,10,12cm,-5,10);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
fin;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{exercice}


\begin{exercice}[5 points]
Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ g(x)=(x^2-5x)\sqrt{x} \]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ puis démontrer que, pour tout $x\in\intervalleOO{0}{+\infty}$ :
\[ g'(x)=\frac{5}{2}\sqrt{x}(x-3) \]
\item En utilisant le taux d'accroissement, démontrer que $g$ est dérivable en $0$.
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[4 points]
\begin{minipage}{11cm}
Le graphique ci-contre représente, dans un repère orthonormal, la courbe représentative $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $I=\intervalleFF{-0,5}{4}$ et deux de ses tangentes.

Pour chaque question, une ou deux propositions est exacte.

Cocher les réponses exactes. Aucune justification n'est demandée.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5.5cm}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
repere(-1,4,1cm,-1.5,3,1cm);
 path C_f;
 C_f:= (-0.25,3) .. (0,2){(1,-3)} .. (0.5,1.25) .. (1,1){(1,0)} .. (2,1.25) .. (3,2) .. (3.5,3);
 draw quadrillage(1,1);
 draw axes(1,0);
 draw axexpart(1);
 draw axeypart(1);
 draw C_f withpen pencircle scaled 1 couleur blue;
 nomme.lrt(C_f,3);
 draw cadre;
  pair A,B,C;
 A:=(0,2);
 B:=(1,-1);
 C:=(1,1);
 drawoptions(couleur 0.7rouge);
 draw droite(A,B) epaisseur 1;
 draw droite(0,1) epaisseur 1;
 nomme.lft(A);pointe(B,C);
fin;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Le graphique permet d'affirmer :
\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
\item $f(2)=0$  \item $f'(0)=2$ \item $f'(1)=0$ \item $f'(2)>1$
\end{colenumerate}

\item On pose $g(h)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
\item $\ds\limo[h]g(h)=-3$ \item $\ds\limo[h]g(h)=1$ \item $\ds\limo[h]g(h)=0$ \item $\ds\limo[h]g(h)=-\dfrac{1}{3}$
\end{colenumerate}

%\item Le coefficient directeur de la tangente en $A$ à la courbe $C_{f}$ est égal à :
%\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
%\item $3$ \item $-3$ \item $-\dfrac{1}{3}$ \item $\dfrac{1}{3}$
%\end{colenumerate}

\item La fonction $f$ ne s'annule pas sur $I$. On peut donc définir la fonction $u$ sur $I$ par $u=\dfrac{1}{f}$. On a alors :
\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
\item $u'(0)=\dfrac{3}{4}$ \item $u'(1)=1$ \item $u'(0)=-\dfrac{3}{4}$ \item $u'(1)=0$
\end{colenumerate}

%\item La fonction $d$ est définie sur $I$ par $d(x)=f(x)-(-3x+2)$. On a alors :
%\begin{colenumerate}[label=\protect\qcm]{4}
%\item $d$ est négative sur $I$ \item $d(1)=2$ \item $d(0)=-3$ \item $d$ ne s'annule pas.
%\end{colenumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[4 points]
Soit $f$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels \textbf{fixés}.

\begin{enumerate}
\item Calculer, pour tout $x\in\R$, $f'(x)$ en fonction de $x$.
\item On sait que $f'(0)=3$, $f'(1)=-1$ et $f(1)=6$. Déterminer $a$, $b$ et $c$ et en déduire $f(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\end{exercice}


\end{document}