\documentclass[10pt,twoside,french,a4paper]{article}


  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{pifont}

  \usepackage{emp}

  \usepackage{PresentationArticle}   %Paquet perso
  \usepackage{Commandes}      %Paquet perso
  \usepackage{fourier}
  
  \usepackage[output-decimal-marker={,}]{siunitx}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage{babel}
     \frenchbsetup{SuppressWarning,CompactItemize=false}
     \DecimalMathComma

  \usepackage[%
              pdftitle={Devoir de première sur la dérivation},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Dérivation}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Devoir}{5 bis}
 \duree{1 heure}
 \date{14 décembre 2015}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
    
 \end{empcmds}

\affichetitre

 \abovedisplayskip=0.5ex
 \belowdisplayskip=0.5ex




\begin{exercice}[6 points]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\{2\}$ par : \[ f(x)=\frac{x^3+7x^2-x+2}{x-2} \]
Étudier les variations de $f$ en justifiant soigneusement les différentes étapes.
\end{exercice}

\begin{exercice}[4 points]
Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par :
\[ g(x)=\left(x^2-x\right)\times\sqrt{x} \]
On appelle $\calc_g$ sa courbe représentative dans un repère.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ et calculer $g'$.
\item Démontrer que $g$ est dérivable en $0$ et calculer $g'(0)$.
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\calc_g$ au point d'abscisse $1$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[5 points]

Soit  $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=\dfrac{6x+2}{x^2+2} \]

\begin{enumerate}

 \item Calculer la dérivée de $f$.

 \item Étudier les variations de $f$ sur $\R$.

 \item Déterminer un encadrement de $f(x)$ pour tout $x$ de $\intervalleFO{0}{+\infty}$.

\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[5 points]
Une personne désire clôturer un terrain rectangulaire de $\SI{312.5}{m^2}$ dont un côté s'appuie sur un mur, ce côté ne nécessitant pas de clôture.

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere(-1,6,1cm,0,4,1cm);
path mur;
mur = _c(-1,3.5)--_c(-1,4)--_c(6,4)--_c(6,3.5)--cycle;
fill mur avec briques();
draw mur;
pair A,B,C,D;
numeric t;
t=1;
A=_c(-1+t,3.5);B=_c(-1+t,1.5);
C=_c(6-t,1.5);D=_c(6-t,3.5);
draw A--B--C--D epaisseur 1;
label.lft(LaTeX("$x$"),0.5[A,B]);
label.bot(LaTeX("$y$"),0.5[C,B]);
fin;
\end{emp}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Exprimer $y$ en fonction de $x$.
\item Déterminer la longueur de clôture en fonction de $x$.
\item Déterminer les dimensions $x$ et $y$ pour que la longueur de la clôture soit minimale.
\end{enumerate}


\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}

