\documentclass[10pt,twoside]{article}


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              pdftitle={Devoir de première sur la dérivation},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}


\begin{document}
 \titre{Dérivation}
 \classe{\prems}
 \typedoc{Devoir}{5}
 \duree{1 heure}
 \date{3 décembre 2015}

\begin{empfile}

 \begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
    
 \end{empcmds}

\affichetitre

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\begin{exercice}[6 points]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=5x^4 + 9x^3 - 7x^2 + 1 \]
Étudier les variations de $f$.
\end{exercice}

\begin{exercice}[4 points]
Soit $f$ une fonction définie sur $\R\setminus\left\lbrace\dfrac{2}{3}\right\rbrace$ par :
\[ f(x)=\frac{cx^{2}+d}{3x-2} \]
On appelle $\calc$ sa courbe représentative dans un repère.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée de $f$.
\item Déterminer $c$ et $d$ pour que $f$ vérifie les deux conditions suivantes :
\[ f(0)=1 \hspace{1cm}\text{et}\hspace{1cm}f'(1)=0 \]
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[5 points]
Le but de cet exercice est de montrer que pour tout $x\in \intervalleOO{0}{+\infty}$ on a : $x^2+\dfrac{2}{x}\geqslant 3$.



Soit  $f$ la fonction définie sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=x^2+\dfrac{2}{x} \]

\begin{enumerate}

 \item Calculer la dérivée de $f$.

 \item Montrer que pour tout $x>0$ :  $f'(x)=\dfrac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$ 

 \item En déduire le tableau de variations de $f$.

 \item Conclure.

\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[5 points]
On considère la fonction $f$ définie sur $\intervalleFF{0}{9}$ par : \[ f(x)=3-\sqrt{x} \]
On appelle $\calc_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

On considère un point $M$ d'abscisse $x$ appartenant à la courbe $\calc_f$  et on construit comme l'indique la figure ci-dessous un rectangle de sommets $O$ et $M$ et dont les côtés sont parallèles aux axes.
\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere.orth(-0.5,10,10cm,-0.5,3.5);
vardef f(expr x) = 3-sqrt(x) enddef;
settout(0,10,0,3.5);
pair M;
numeric t;
t=2.5;
M=_c(t,f(t));
nomme.urt(M);
fill (_c(0,0)--_c(0,f(t))--M--_c(t,0)--cycle) withcolor grisclair;
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
path C;
C=courbefonc(f,0,9,60);
draw C epaisseur 1 couleur 0.5bleu;
nomme.urt(C,7,LaTeX("$\calc_f$")) couleur 0.5bleu;
draw projectionaxes(M) dashed evenly epaisseur 1 couleur violet;
fin;
\end{emp}
\end{center}
On note $A(x)$ l'aire de ce rectangle en fonction de $x$.
\begin{enumerate}
\item Donner l’expression de la fonction $A$.
\item Étudier les variations de $A$.
\item Déterminer la position du point $M$ afin que l'aire du rectangle soit maximale.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}

