\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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              unicode,%
              pdftitle={Devoir de troisième - Arithmétique},%
              pdfauthor={O. Péault},%
              ]{hyperref}

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\newenvironment{aide}{\par\bigskip\color{blue}
                      \begin{lrbox}{\boiteaide}
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                      \par\bigskip}



\begin{document}
 \titre{Arithmétique}
 \classe{\trois}
 \typedoc{Devoir}{1}
 \date{2 octobre 2017}
 \duree{1 heure}
 
\affichetitre

\begin{exercice}[2 points]
Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ dans les cas suivants (donner la réponse sous la forme d'un calcul en ligne):
\[ a=276\quad\text{et}\quad b=7 \qquad\qquad\qquad\qquad a=294\quad \text{et}\quad b=7 \]

\begin{aide}
L'écriture en ligne est l'écriture sous la forme $a=b\times q +r$
\end{aide}
\end{exercice}

\begin{exercice}[3 points]
On sait que $332=29\times 11+13$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le quotient et le reste de la division euclidienne de 332 par 29 ?

\begin{aide}
Aucun calcul n'est à faire, il suffit de \og lire \fg{} l'écriture en ligne.
\end{aide}
\item Quel est le quotient et le reste de la division euclidienne de 332 par 11 ?

\begin{aide}
Attention, le reste ne doit pas être plus grand que le diviseur.
\end{aide}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[3 points]
\begin{enumerate}
            \item Donner la liste de \emph{tous} les diviseurs de chacun des nombres de la liste suivante :
            \begin{colenumerate}{5}
            \item  16 ;\item   7 ;\item   42 ;\item   63 ;\item   13.
            \end{colenumerate}
\begin{aide}
On peut donner la liste des produits sous la forme $16=1\times16=2\times8=\dots$ en regardant les facteurs dans l'ordre croissant pour être sûr de ne pas en oublier.

Il faut ensuite donner la réponse sous forme d'une phrase.
\end{aide}
            
            \item Quels sont les nombres premiers de cette liste ?
            
            \begin{aide}
            Revoir dans le cours la définition d'un nombre premier.
            \end{aide}
 \end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[8 points]
\begin{enumerate}
\item Donner la décomposition en facteurs premiers de chacun des nombres suivants (donner les détails de calcul) :
\begin{colenumerate}{5}
\item  360 ; \item  1050 ; \item  7700 ; \item  8775.
\end{colenumerate}

\begin{aide}
On peut écrire $360=36\times10=\dots$ et continuer à décomposer les facteurs.

On peut faire de même avec $7700$ en écrivant $7700=77\times 100=\dots$

Pour $1050$ et surtout $8775$, il est sans doute plus intéressant de les diviser petit à petit par les premiers nombres premiers ($2$, $3$, $5$, \dots)
\end{aide}

\item Simplifier les fractions suivantes pour les rendre irréductibles :
\begin{colenumerate}{5}
\item  $\dfrac{360}{1050}$ ; \item $\dfrac{8775}{360}$  ; \item $\dfrac{7700}{1050}$  ; \item $\dfrac{7700}{8775}$.
\end{colenumerate}

\begin{aide}
Remplacer chaque nombre par sa décomposition en facteurs premiers. Simplifier ensuite le plus possible.
\end{aide}
\item Effectuer les calculs suivants :
\begin{colenumerate}[label={$\Alph*=$}]{3}
\item $\dfrac{1}{1050}+\dfrac{3}{7700}$
\item $\dfrac{1}{360}-\dfrac{1}{1050}$
\end{colenumerate}

\begin{aide}
Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les mettre au même dénominateur. Pour cela, on remplace chacun des dénominateur par sa décomposition en facteurs premiers puis, à l'aide de cette décomposition, on cherche un multiple commun à ces deux dénominateurs.
\end{aide}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[4 points]
Deux autocars $A$ et $B$ partent en même temps du terminus à 7h00 du matin et font un parcours qui les ramènent à ce terminus. L'autocar $A$ part toutes les 42 minutes et l'autocar $B$ part toutes les 63 minutes.

\begin{enumerate}
\item À quelle heure les deux autocars partiront-ils de nouveau en même temps pour la première fois ?

\begin{aide}
Les autocars partiront en même temps lorsqu'ils auront fait tous les deux un certain nombre de parcours complets. Il faut donc chercher 
\end{aide}
\item À quelle heure les deux autocars partiront-ils de nouveau en même temps pour la cinquième fois?
\begin{aide}
Les autocars partiront en même temps lorsqu'ils auront fait tous les deux un certain nombre de parcours complets. Il faut donc chercher un multiple commun à $42$ et $63$. On peut par exemple utiliser la décomposition en facteurs premiers.

Ce multiple doit être le plus petit possible pour la question 1. et doit être le cinquième plus petit pour la question 2.
\end{aide}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{document}